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1. Integral de Riemann
Se establece el concepto de función integrable, y el de integral de una función, ambos conceptos en el sentido de Riemann.
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2. Teoremas Fundamentales del Cálculo
Se demuestran algunos teoremas integrales importantes: Teoremas del valor medio, Teoremas fundamentales del cálculo y el Teorema del Cambio de variable. También se da una técnica novedosa para el cálculo de series numéricas.
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3. Funciones logarítmicas y exponenciales.
Se definen la función logaritmo neperiano y la función exponencial natural con base el número \( e \). A partir de ellas podemos construir otras como la función potencia, con base y exponente variables, y las funciones trigonométricas hiperbólicas.
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4. Funciones trigonométricas.
Se definen, por primera vez, las funciones trigonométricas habituales: seno y coseno, tangente y cotangente, así como sus funciones inversas.
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5. Cálculo de primitivas.
Se procede al cálculo de funciones primitivas, también conocidas como integral indefinida de una función. Se demuestran dos técnicas que conocemos de sobra: la fórmula de integración por partes y la técnica del cambio de variables. Se completa el tema con la aplicación al cálculo de primitivas para diversos tipos de funciones. Cabe destacar el cálculo de primitivas de funciones racionales (cocientes de polinomios), que involucra la técnica de descomposición en fracciones simples.
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6. Integrales impropias.
Pasamos a integrar funciones en dominios de longitud infinita, o de funciones no acotadas. El problema en este caso es identificar cuándo la integral de estas funciones son finitas o infinitas.
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7. Integrales Eulerianas.
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8. Sucesiones de funciones.
Ya conocemos las sucesiones y series numéricas; ahora trabajaremos las sucesiones y series de funciones, sus diferentes formas de convergencia, así como la continuidad, derivabilidad e integrabilidad de su límite.
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9. Series de funciones.
Si en el tema anterior hablamos de las sucesiones de funciones, en este tema se tratará el tema de las series de funciones y los primeros criterios de convergencia.
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10. Series de potencias.
Dentro de las series de funciones, estudiadas en el tema anterior, existe un tipo especial: el de las series de potencias. Están relacionadas con el polinomio de Taylor. Estudiaremos cuándo una función puede expresarse de esta forma.
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Otros recursos
Bibliografía, cuestionarios, calendario de dudas, y buzón de sugerencias.
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- 11.1
  Bibliografía de «Funciones de Una Variable II».

1.1. Particiones de un intervalo. Sumas inferiores y superiores.

El objetivo del primer tema es establecer el concepto de integral (que se verá en la siguiente sección), en el sentido de Riemann, de una función acotada en un intervalo cerrado y acotado.

\[ f:[a,b] \subseteq \mathbb R \longrightarrow \mathbb R \]

Para ello es necesario construir primero el concepto de partición del intervalo, y luego las sumas inferiores y superiores asociada a la función y la partición dada; estas sumas son cotas superiores e inferiores del valor de la integral.

Conceptos nuevos: Partición de un intervalo. Comparación de particiones. Norma de una partición. Función acotada. Suma superior e inferior.

1.2. Funciones integrables.

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1.1. Particiones de un intervalo. Sumas inferiores y superiores.

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