Resolución Numérica de Ecuaciones

Aprende a resolver lo que no se puede despejar

Bienvenido a la asignatura donde el Análisis y el Álgebra Lineal se ponen a trabajar.

Si cursas el Grado en Matemáticas, Resolución Numérica de Ecuaciones te espera en el segundo cuatrimestre de tercero. No es una asignatura más de cálculo. Es el lugar donde lo que has aprendido sobre continuidad, derivadas, matrices y ecuaciones diferenciales se convierte en algoritmos capaces de responder a problemas que no tienen fórmula directa.

🔑 De la fórmula al algoritmo: tu nuevo modo de pensar

Hasta ahora, resolver una ecuación casi siempre significaba despejar la incógnita. Pero intenta despejar \(x\) en \(x = cos x\). No hay manera. La mayoría de las ecuaciones que importan no tienen solución expresable con funciones elementales.

La respuesta numérica es otra: construir una sucesión que converja a la solución.

También cambian las preguntas. Ya no basta con preguntar cuál es la solución. Ahora importa si existe, si es única, dónde está, si el método converge, a qué velocidad y si es estable. El teorema del punto fijo, la fórmula de Taylor o el radio espectral dejan de ser teoría y pasan a ser tus herramientas de trabajo.

🗺️ El mapa de tu aprendizaje

El curso sigue los cinco capítulos del programa oficial:

• Ecuaciones no lineales escalares: separación y acotación de raíces (Descartes, Cauchy, Sturm), bisección y regula falsi, iteración de punto fijo y orden de convergencia, Newton y sus variantes (secante, raíces múltiples, Steffensen, aceleración de Aitken). \[x \cdot e^{x^2} = 1\]
• Sistemas de ecuaciones no lineales: punto fijo en ℝⁿ y teorema de Ostrowski, Newton para sistemas, métodos cuasi-Newton (Broyden, Sherman–Morrison) y una incursión en la optimización (máximo descenso y Newton). \[ \left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2=3 \\ 2x + y^2 = 1-y \end{array} \right. \]
• Ecuaciones en diferencias finitas: recurrencias lineales, ecuación característica, soluciones particulares y estabilidad. Como la sucesión de Fibonacci. \[ \left\{ \begin{array}{l} x_0=1 \\ x_1=1 \\ x_{n+1}= x_n+x_{n-1} \end{array} \right. \]
• Problemas de valor inicial: métodos multipaso lineales (Euler, trapecios, Adams, BDF), consistencia, orden, cero-estabilidad, convergencia y estabilidad absoluta. \[ \left\{ \begin{array}{ll} y’-y =te^t \\ y(0)=1 \end{array} \right. \]
• Problemas de contorno: diferencias finitas, sistemas tridiagonales, condiciones de Dirichlet y Neumann, y problemas no lineales resueltos con Newton. \[ \left\{ \begin{array}{ll} \frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}+y =t^2 \\ y(0)=1\\ y(1)=0 \end{array} \right. \]

🌍 ¿Por qué es una asignatura estratégica?

Porque es el puente entre la matemática que demuestra y la que calcula. Cada vez que un programa resuelve una ecuación, simula un sistema físico o entrena un modelo, por debajo hay un método iterativo como los que estudiarás aquí. El descenso de gradiente con el que se entrenan las redes neuronales es pariente directo del método de máximo descenso que verás en el curso.

Además, la asignatura tiene una arquitectura interna muy elegante: las ecuaciones en diferencias son el hilo que lo une todo. Decidir si un esquema multipaso es estable consiste en estudiar las raíces de un polinomio característico. Analizar un problema de contorno discretizado consiste en estudiar una recurrencia de segundo orden. Cuando ves esa conexión, la asignatura deja de ser un catálogo de métodos y se convierte en una sola idea. Y es la base de lo que vendrá después: ecuaciones en derivadas parciales, optimización y cálculo científico.

🤝 No estarás solo en el camino

Sabemos que la educación a distancia requiere dedicación y autonomía, pero nuestros instructores estarán a tu lado en cada paso para impulsar y orientar tu esfuerzo.

📝 ¿Cómo se evalúa tu progreso?

El examen es de desarrollo, dura dos horas y solo se permite calculadora no programable. Consta de ejercicios del estilo de los resueltos en el texto base, con alguna cuestión teórica. Se valoran tanto el razonamiento como la precisión de los cálculos. La evaluación continua (prácticas con ordenador, en abril) es voluntaria y puede sumarte hasta un punto si en el examen obtienes al menos un 4,5.

Por eso entrenamos como se examina. Hemos recopilado y clasificado por tema los exámenes de 2013 a 2026, más de 130 enunciados distintos, y muchos reaparecen de una convocatoria a otra, idénticos o con pequeñas variaciones. Trabajarás cada tipo de ejercicio hasta reconocerlo a primera vista. Tendrás orientaciones y guías de resolución que ponen el foco en cómo justificas cada paso, no solo en el resultado final.

📚 Tu texto base

Tendrás acceso a nuestro manual teórico de la asignatura, basado en el texto base, y a nuestras colecciones de ejercicios resueltos, basadas en la bibliografía y en los exámenes de convocatorias anteriores.

¿Listo para resolver lo que no se puede despejar?
Accede al curso virtual, repasa el teorema del punto fijo y la fórmula de Taylor, y prepárate para ver converger tus primeras sucesiones. ¡Nos vemos en los foros!

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Con esta asignatura se termina el bloque de Análisis Numérico, en el que se resuelven problemas ya conocidos de manera aproximada cuando no es posible hallar una solución exacta mediante los métodos habituales.

Aunque los métodos del Análisis Numérico pueden aplicarse a muchas situaciones en futuras asignaturas, los conocimientos y técnicas para resolverlos no volverán a nombrarse.

!!Tú puedes!!

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