Funciones de Varias Variables I

Da el salto a varias dimensiones

Bienvenido al Cálculo con el que se describe el mundo real.

Si cursas el Grado en Matemáticas, el Doble Grado con Economía o Física, en el segundo cuatrimestre de primero te espera una de las asignaturas que más cambia tu forma de ver el Cálculo. Funciones de Varias Variables I no es «Cálculo de una variable con más letras» sin más. Se apoya en Funciones de una Variable I y Álgebra Lineal I, y avanza en paralelo con Funciones de una Variable II.

🔑 De la recta al espacio: un cambio de mirada

Vienes de estudiar funciones de una variable: límites, continuidad, derivadas… Aquí reencontrarás todas esas ideas, ahora para funciones \(f:\mathbb R^n \to \mathbb R^n \), y descubrirás que el paso de una a varias variables esconde sorpresas. En el plano ya no te acercas a un punto solo por la izquierda o por la derecha, sino por infinitos caminos alrededor. La derivada deja de ser un número para mostrarse como lo que siempre fue en el fondo: la mejor aproximación lineal de la función, es decir, una matriz.

Además, aprenderás a leer un texto matemático como lo que es: una arquitectura de definiciones, teoremas, hipótesis y contraejemplos, escrita con una notación precisa que reencontrarás en todas las ramas del grado. Entender por qué falla un teorema cuando le quitas una hipótesis vale tanto como saber aplicarlo.

🗺️ El mapa de tu aprendizaje

A lo largo del curso recorrerás los cuatro temas de la asignatura:

• La geometría del espacio euclídeo: Vectores en \(\mathbb R^3\) y \(\mathbb R^n\), productos escalar y vectorial, rectas y planos, matrices y determinantes, coordenadas cilíndricas y esféricas.
• Continuidad: Gráficas, conjuntos de nivel y secciones; conjuntos abiertos, límites y continuidad en \( \mathbb R^n\).
• Diferenciación: Derivadas parciales, diferenciabilidad y matriz jacobiana, regla de la cadena, gradiente, derivadas direccionales y planos tangentes.
• Derivadas de orden superior. Máximos y mínimos: Derivadas parciales iteradas, fórmula de Taylor, puntos críticos y su clasificación mediante la matriz hessiana, extremos absolutos.

🌍 ¿Por qué es una asignatura estratégica?

Porque es el punto de partida de todo lo que vendrá después en Análisis: Funciones de Varias Variables II, con las integrales múltiples y los grandes teoremas del cálculo vectorial (Green, Stokes, Gauss), las Ecuaciones Diferenciales o la Geometría Diferencial. Y porque, fuera de las matemáticas puras, está en todas partes. La usan los campos de la Física, la optimización en Economía, la máxima verosimilitud en Estadística y el descenso por el gradiente con el que se entrenan los modelos de inteligencia artificial. Dominar hoy el gradiente, la regla de la cadena y la hessiana significa hablar mañana con soltura el idioma de la ciencia aplicada.

🤝 No estarás solo en el camino

Sabemos que la educación a distancia exige dedicación y autonomía. Por eso nuestros instructores estarán a tu lado en cada paso para impulsar y orientar tu esfuerzo.

📝 ¿Cómo se evalúa tu progreso?

La asignatura se evalúa con una prueba presencial y sin material. Se valora el planteamiento del problema, la claridad de los razonamientos, la corrección de los cálculos y la presentación. Hay además una PEC optativa, en la segunda quincena de abril, que puede sumar hasta medio punto.

Por eso creemos en la justificación y el razonamiento por encima de la memorización. Tendrás a tu disposición una lista de ejercicios propuestos, con orientaciones y guías de resolución. La solución es el resultado final, pero disponer de técnicas que te permitan construirla es lo fundamental. Trabajarás justo lo que el examen premia: plantear bien, ordenar la escritura y justificar cada paso de tu razonamiento.

📚 Tu texto base

La asignatura sigue el texto clásico Cálculo vectorial de J. E. Marsden y A. J. Tromba, que fija tanto los contenidos como la notación. Tendrás acceso a nuestro manual teórico, que respeta esa notación y la acompaña de ejemplos, contraejemplos y comentarios. También tendrás nuestras colecciones de ejercicios resueltos, basadas en la bibliografía de la asignatura y en exámenes de convocatorias anteriores.

¿Listo para dar el salto a \(\mathbb R^n\)?
Accede al curso virtual, repasa tus derivadas de una variable y prepárate para ver el Cálculo en toda su dimensión. ¡Nos vemos en los foros!

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