1.1. Cuerpos ordenados.

Antes de hablar de sucesiones hay que fijar el suelo que pisan. Todo el tema ocurre en un cuerpo ordenado 𝕂 cualquiera, y esta sección existe para que esa letra deje de parecerte un eufemismo de ℝ. 𝕂 designa una familia de objetos cuyos miembros se parecen poco entre sí. Verás qué hace falta para ordenar un cuerpo: tres axiomas sobre los elementos positivos, nada más. Verás también qué se deduce de ellos, que es toda el álgebra de desigualdades que llevas años usando sin preguntarte de dónde sale. Y verás un zoo de ejemplos: ℚ, ℚ(√2), ℚ(t), y dos cuerpos que no admiten ningún orden.

El ejemplo que no debes perder de vista es ℚ(t). Es un cuerpo ordenado perfectamente legal en el que 1/n «no tiende a cero». Te enseña algo que el resto del tema da por supuesto sin decirlo: hay propiedades que no se siguen de los axiomas de cuerpo ordenado y que hay que pedir expresamente. Aquí la propiedad arquimediana; más adelante, la completitud. Si sales de esta sección sabiendo que «cuerpo ordenado» no significa necesariamente «ℝ», ha cumplido su función.

Cómo trabajarla: los axiomas (O1)–(O3) y dos desigualdades triangulares se aprenden de memoria. Las demostraciones de las desigualdades conviene hacerlas una vez con tus propias manos. Los ejemplos se leen preguntándose, para cada uno, qué propiedades tiene y cuál le falta.

Conceptos nuevos: cuerpo, conjunto de números naturales, enteros y racionales, cono positivo, conjunto ordenado, cuerpo ordenado, valor absoluto, propiedad arquimediana.

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