1.2. Sucesiones convergentes.

Esta es la sección central del tema, y probablemente la más importante del curso. Parte de una pregunta que parece ingenua: ¿qué significa que una sucesión «se acerca» a un número? La respuesta es una definición que va a sostener todo lo que venga después: límites de funciones, continuidad, derivadas, series. La intuición del movimiento no basta para contestarla. Lo que funciona es un contrato: tú exiges una precisión ε, y yo te garantizo un índice n₀ a partir del cual esa precisión se cumple.

Lo difícil aquí no es ninguna demostración concreta, sino la gramática. Vas a aprender tres cosas.

• a leer una cadena de cuantificadores como una declaración de «qué puede depender de qué».
• a negarla sin equivocarte.
• a encontrar las demostraciones hacia atrás para luego escribirlas hacia adelante.

Cómo trabajarla: despacio y con papel. Antes de pasar a la Sección 1.3, la definición de límite y su negación tienen que salirte de memoria y sin dudar. Las tres proposiciones finales son cortas; su valor está en los movimientos que estrenan. Al terminar cada una, escribe qué depende de qué.

Conceptos nuevos: sucesión en un cuerpo ordenado, sucesión acotada, límite de una sucesión, sucesión convergente.

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