1.3. El álgebra de límites

Con la definición de límite en la mano, la pregunta natural es si podemos calcular con límites igual que con números: que el límite de la suma sea la suma de los límites, y lo mismo con el producto y el cociente. La respuesta es que sí. Ese teorema, el álgebra de límites, es lo que te permitirá dejar de volver a ε y n₀ cada vez que calcules algo. Pero el sí tiene también letra pequeña, y en esta sección la leeremos entera.

Primero está el precio. Para dividir hay que asegurarse de que el denominador se aleja del cero, y eso exige un lema previo: la separación del cero. Después viene la herramienta estrella, el término puente. Consiste en sumar y restar lo mismo para resolver un salto difícil en dos saltos que las hipótesis sí saben medir. Lo volverás a ver en la construcción de ℝ y en la regla de derivación del producto. Por último, la sección estudia hasta dónde llega el teorema. Sus recíprocos son falsos en general, y un solo par de sucesiones alternadas basta para romperlos casi todos. Casi, porque hay una excepción. Entender por qué la suma la admite y el producto no es entender qué papel juega el inverso en un argumento.

Cómo trabajarla: las demostraciones de la suma y del producto se reproducen. La constante del cociente se entiende, pero no se memoriza. La tabla de recíprocos falsos es puramente material de test.

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