1.5. Construcción de un cuerpo completo.

La sección anterior dejó un problema: ℚ tiene agujeros. Esta lo resuelve de la forma más audaz posible. Si el punto al que apunta una sucesión de Cauchy no existe, lo fabricamos a partir de las propias sucesiones. Un número real será, literalmente, la clase de todas las sucesiones de Cauchy de racionales que apuntan al mismo sitio.

El recorrido tiene la estructura de cualquier construcción por cociente. Si has visto ℤ/nℤ o la construcción de ℚ a partir de ℤ, la reconocerás. Tiene cuatro piezas: un conjunto de partida, una relación de equivalencia, unas operaciones definidas sobre representantes y la obligación de comprobar que el resultado no depende del representante elegido. Esa última idea, la buena definición, es la lección que te llevas de aquí para toda tu vida matemática. Una sola proposición técnica, la proposición motor, hace posibles el inverso y el orden. Al final, ℝ resulta ser un cuerpo ordenado completo que contiene a ℚ. La estrategia de la última demostración (bajar a ℚ, resolver allí y subir el resultado) es otro patrón que volverás a encontrar.

Cómo trabajarla: con lápiz y sin memorizar ninguna demostración. Esta sección pesa mucho en páginas y poco en el examen. El objetivo es poder contar en cinco minutos cómo se construye ℝ y por qué la construcción no es circular. Si vas justo de tiempo, esta es la sección que se aligera, nunca la 1.2.

Conceptos nuevos:

Archivo