1.4. Sucesiones de Cauchy.

Aquí el tema cambia de marcha y aparece su pregunta central. Hasta ahora, para probar que una sucesión converge había que conocer de antemano su límite. ¿Se puede saber que una sucesión converge sin saber a qué? La respuesta es el concepto de sucesión de Cauchy: un criterio interno, que solo mira cómo se apiñan los términos entre sí.

La sección empieza con herramientas de desigualdades. Verás qué sobrevive al paso al límite y qué no, y la regla del sandwich (o emparedado), que usarás en todos los temas. Después se definen las sucesiones de Cauchy, se desmonta con la sucesión armónica el error más común sobre ellas y se prueba que toda sucesión convergente es de Cauchy en cualquier cuerpo ordenado. Y entonces llega el golpe: el recíproco falla en ℚ. Hay sucesiones de racionales que se apiñan cada vez más alrededor de un punto que no está en ℚ. Ese agujero, por ejemplo √2, y con él infinitos más, es la razón de ser del tema y de la asignatura. Un cuerpo sin agujeros se llama completo, y la completitud es el único hecho no algebraico sobre el que descansa todo el análisis.

Cómo trabajarla: la definición de sucesión de Cauchy y la demostración de la armónica son de dominio. La construcción de (mₙ/2ⁿ) no se memoriza. Lo que tienes que poder contar en un minuto es qué demuestra y por qué no usa √2 en ningún momento.

Conceptos nuevos: sucesión de Cauchy, cuerpo completo.

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